Définition :
Soient un point O et un réel k, on appelle inversion la transformation qui fait correspondre à tout point M le point M' de la droite OM tel que OM.OM' = k.
O est le centre (ou pôle) et k le module (ou puissance) de l'inversion (O, k).
Si k > 0, le cercle (O, k) est invariant, c'est le cercle d'inversion.
Propriétés :
L'inverse de l'inverse est le point de départ. Les deux points sont dits inverses l'un de l'autre.
Toute droite passant par O est globalement invariante. Si M tend vers O, M' s'éloigne à l'infini.
Tout cercle passant par deux points inverses est globalement invariant.
Deux figures F1 et F2 inverses de la figure F sont homothétiques de centre O.
Si une courbe admet une tangente en A, sa transformée admet une tangente en A' inverse de A.
Si deux droites ou courbes font un angle a au point A, leurs transformées font le même angle au point A' transformé de A.
La transformée d'une droite ne passant pas par O est un cercle passant par O.
Une droite et un cercle se correspondent dans deux inversions. Une seule s'ils sont tangents.
L'inverse d'un cercle ne passant pas par O est un cercle homothétique par rapport à O. Les centres des deux cercles ne sont pas homologues : l'homologue du centre de l'un est le pied de la polaire de O par rapport à l'autre.
Deux cercles se correspondent dans deux inversions s'ils sont sécants. Une seule sinon.